Menghitung Integral dengan menggunakan Bilangan Acak

Misalkan g(x) adalah sebuah fungsi. Kita ingin menghitung θ yaitu :

Apa yang menjadi dasar bahwa integral di atas dapat dihitung dengan menggunakan bilangan random ?

Penjelasan :

Ambil U suatu bilangan acak yang terdistribusi secara uniform dan independent di interval (0,1).

Kemudian misalnya kita nyatakan θ sebagai :

Jika $\inline U_{1}, ... , U_{k}$ adalah variabel random yang independent dan uniform di interval (0,1), maka menjadikan juga $\inline g( u_{i} )$ adalah sebagai variabel random yang independent dan terdistribusi secara identik dengan mean $\theta$ . Karena itu, dengan menggunakan dasar hukum kuat dari bilangan besar (the strong law of large numbers), mengikuti ketentuannya dengan probabilitas 1.

$\sum_{i=1}^{k}\frac{g(U_{i})}{k} \to E[g(U)]= \theta \;\;\;\; ketika \; k \to \infty$

Karena itu kita dapat mendekati θ dengan cara membangkitkan sebanyak mungkin bilangan random $u_{i}$ dan mengambilnya sebagai pendekatan kita terhadap nilai rata-rata (average) dari $g( u_{i} )$ . Pendekatan semacam ini sering disebut sebagai pendekatan Monte Carlo.

Berikut ini adalah contoh algoritma dari bahasa BASIC yang dapat digunakan untuk mendekati nilai θ :

10 RANDOMIZE 20 INPUT K 30 S = 0 40 FOR I = 1 TO k 50 U = RND 60 S = S + g(U) 70 NEXT 80 PRINT S/K
Nilai yang dihasilkan dari alogoritma ini adalah nilai dari $\theta = \int_{0}^{1} g(x) dx$ .

Kasus 1 :

Jika kita ingin menghitung :

$\theta = \int_{a}^{b} g(x) dx$

maka kita menggunakan substitusi $y = (x-a)/(b - a), dy = dx / (b-a)$ , sehingga :

$\begin{align*} \theta &= \int_{0}^{1} g(a+[b-a]y)(b-a)) dy\\ &= \int_{0}^{1} h(y) dy \end{align*}$

dimana h(y) = (b – a) g(a + [b – a] y ).

Dengan demikian kita dapat mendekati nilai θ dengan membangkitkan bilang random secara kontinyu dan mengambil nilai rata-rata (average) dari h yang dihitung pada bilangan-bilangan random tadi.

Kasus 2 :

Jika kita ingin menghitung :

$\theta &= \int_{0}^{\infty} g(x) dx$

kita bisa menggunakan substitusi $\inline y = 1/(x + 1), dy = - dx/(x + 1)^2 = -y^{2} dx$

Substitusi ini menggambarkan bahwa

ketika $x \to 0$ maka $y \to 0$
ketika $x \to \infty$ maka $y \to 1$

Catatan : ingat sifat integral tertentu :

$\int_{a}^{b} f(x) dx = - \int_{b}^{a} f(x) dx$

selanjutnya karena : $\inline y = 1/(x + 1)$

$\begin{align*} dy &= d(\frac{1}{x+1}) \\ &= - \frac{dx}{(x+1)^2}\\ &= - (\frac{1}{x+1})^2 dx\\ &= - y^2 dx\\ dx &= - \frac{1}{y^2} dy \end{align*}$

kemudian

$\begin{align*} y &= \frac{1}{x+1}\\ x+1 &= \frac{1}{y}\\ {\color{red} x } &= {\color{red} \frac{1}{y} - 1 }\\ \end{align*}$

sehingga didapatkan identitas :

$\theta &= \int_{0}^{\infty} h(x) dx$

dimana

$h(y)=\frac{g(\frac{1}{y}-1)}{y^{2}}$

3 tanggapan untuk “Menghitung Integral dengan menggunakan Bilangan Acak”

Pengantar Simulasi sebuah Urutan Pembelajaran « Open Source, Matematika dan Statistika

November 1, 2010 at 10:16 pm

[…] Menghitung Integral dengan Bilangan Acak […]

Balas
Ardisaga

September 11, 2013 at 7:50 am

Saya itu mahasiswa teknik saya kurang tangkap klo ada mata kuliah kalkulus ?adakah cara jitu agar saya bisa jlas tentang kalkulus

Balas
1. Toosa
  
  November 11, 2013 at 2:58 pm
  
  Coba menggunakan beberapa text book yang berbeda-beda, karena masing-masing penulis bisa jadi menggunakan pendekatan yang berbeda-beda. Misal menggunakan karangannya Thomas Finey, Frank Ayres (schaum series), Purcell, dsb.
  
  Balas

OPENSTAT