Menghitung Integral dengan menggunakan Bilangan Acak


Misalkan g(x) adalah sebuah fungsi. Kita ingin menghitung θ yaitu :

Apa yang menjadi dasar bahwa integral di atas dapat dihitung dengan menggunakan bilangan random ?

Penjelasan :

Ambil U suatu bilangan acak yang terdistribusi secara uniform dan independent di interval (0,1).

Kemudian misalnya kita nyatakan θ sebagai :

Jika adalah variabel random yang  independent dan uniform di interval (0,1), maka menjadikan juga adalah sebagai variabel random yang  independent dan terdistribusi secara identik dengan mean \theta .  Karena itu, dengan menggunakan dasar hukum kuat dari bilangan besar (the strong law of large numbers), mengikuti ketentuannya dengan probabilitas 1.

Karena itu kita dapat mendekati θ dengan cara membangkitkan sebanyak mungkin bilangan random u_{i}  dan mengambilnya sebagai pendekatan kita terhadap nilai rata-rata (average) dari g( u_{i} ) . Pendekatan semacam ini sering disebut sebagai pendekatan Monte Carlo.

Berikut ini adalah contoh algoritma dari bahasa BASIC yang dapat digunakan untuk mendekati nilai θ :


10 RANDOMIZE
20 INPUT K
30 S = 0
40 FOR I = 1 TO k
50 U = RND
60 S = S + g(U)
70 NEXT
80 PRINT S/K

Nilai yang dihasilkan dari alogoritma ini adalah nilai dari \theta = \int_{0}^{1} g(x) dx .

Kasus 1 :

Jika kita ingin menghitung :

\theta = \int_{a}^{b} g(x) dx

maka kita menggunakan substitusi y = (x-a)/(b - a), dy = dx / (b-a) , sehingga :

dimana h(y) = (b – a) g(a + [b – a] y ).

Dengan demikian kita dapat mendekati nilai θ dengan membangkitkan bilang random secara kontinyu dan mengambil nilai rata-rata (average) dari h yang dihitung pada bilangan-bilangan random tadi.

Kasus 2 :

Jika kita ingin menghitung :

kita bisa menggunakan substitusi

Substitusi ini menggambarkan bahwa

  1. ketika x \to 0 maka y \to 0
  2. ketika x \to \infty maka y \to 1

Catatan : ingat sifat integral tertentu :

selanjutnya karena :

kemudian

sehingga didapatkan identitas :

dimana


3 thoughts on “Menghitung Integral dengan menggunakan Bilangan Acak”

    1. Coba menggunakan beberapa text book yang berbeda-beda, karena masing-masing penulis bisa jadi menggunakan pendekatan yang berbeda-beda. Misal menggunakan karangannya Thomas Finey, Frank Ayres (schaum series), Purcell, dsb.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s