Arsip Kategori: Statistika Elementer

Tentang statistika dasar

Variabel Acak Binomial


Source : http://people.wku.edu/david.neal/statistics/discrete/binomial.html

Suppose there is probability p of occurrence on any one attempt. If we make n independent attempts, then the binomial random variable, denoted by X ~ b(n, p), counts the total number of occurrences in these n attempts.
The probability of having exactly k occurrences, for 0 <= k <= n, is given by
P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n – k) , where q = 1 – p.

Variabel Acak Geometri (Geometric Random Variables)


Misalkan ada suatu percobaan yang independent . Setiap kali percobaan itu akan memiliki kemungkinan sukses (probabilitas) sebesar p.

Jika X mewakili banyaknya percobaan awal sebelum akhirnya sebuah sukses terjadi, maka :

Sebenarnya rumus di atas dapat mudah dipahami bahwa untuk mendapatkan sukses yang ke-n maka pastilah (n-1) percobaan sebelumnya adalah gagal. Rumus ini berlaku dengan syarat setiap percobaan terjadi secara independent. (percobaan sebelumnya tidak mempengaruhi percobaan berikutnya).

Sebuah Variabel Acak yang memiliki probability mass function seperti di atas disebut Variabel Acak Geometri dengan parameter p.

Mean dari variabel acak geometri ini diperoleh dengan cara sebagai berikut :

dimana persamaan diatas tersebut menggunakan identitas alajabar untuk 0<x<1,

Sehingga dengan demikian tidak lah sulit untuk menghitung variansinya yaitu :

Ruang Sample dan Kejadian


Mari kita bayangkan andai ada sebuah percobaan yang kejadian yang mungkin terjadi nya belum kita ketahui pada saat awal.

Semua kejadian yang mungkin terjadi pada percobaan tersebut lalu kita kumpulkan menjadi sebuah kumpulan atau himpunan. Maka kumpulan atau himpunan semacam ini kita sebut dengan Ruang Sample dari suatu percobaan dan biasanya ditandai dengan notasi  S.

Contoh, Misalkan ada sebuah balapan kuda yang diikuti oleh 7 ekor kuda.  Masing-masing kuda yang diberi nomor punggung 1 hingga 7, maka :

S = {  semua urutan dari  (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) }

Pemunculan (3,4,1,7,6,5,2) artinya, kuda dengan nomor punggung 3 akan datang paling dulu, baru kemudian disusul oleh kuda nomor 4 dan seterusnya.

Semua himpunan bagian A dari Ruang Sampel disebut sebagai kejadian (event). Karena itu, sebuah kejadian adalah sebuah kumpulan yang mengandung peristiwa yang mungkin muncul dalam suatu percobaan. Jika peristiwa kejadian yang muncul dalam percobaan itu terdapat di dalam A, kita katakan bahwa  kejadian A terjadi.

Contoh : A = { semua kejadian di S yang didahului oleh 5 }

Maka A adalah semua peristiwa dimana kuda nomor 5 yang masuk finish paling dulu.

Variabel Acak


Ketika sebuah percobaan dilakukan, biasanya hasil kejadian yang diperoleh berupa ‘nama kejadian’ seperti : buka dan tutup; terang, redup dan gelap; merah, kuning dan hijau; hidup dan mati dan lain sebagainya. Informasi kejadian yang berbentuk seperti demikian itu belum dapat kita gunakan dalam perhitungan matematis.

Oleh karenanya agar kita bisa olah lebih lanjut, kita harus mengubahnya menjadi suatu bentuk kuantitatif berupa nilai numerik yang menjelaskan hasil percobaan/kejadian tersebut. Nilai kuantitatif yang menjelaskan hasil percobaan/kejadian ini dikenal dengan istilah variabel acak (random variables).

Misalkan ada sebuah percobaan yang memiliki outcome (semua kejadian yang mungkin muncul dalam percobaan) berupa benar dan salah. Maka ketika benar diwakilkan dengan angka 1 dan salah diwakilkan dengan angka 0, maka  0 dan 1 adalah numerik yang mewakili kejadian random benar dan salah yang pada akhirnya disebut sebagai variabel acak. Jadi boleh dikatakan bahwa variabel acak adalah sebuah fungsi yang memetakan kejadian yang ada di alam menjadi bilangan numerik. Semua kejadian yang mungkin muncul dalam suatu percobaan kita sebut sebagai anggota Ruang Sample yang dinotasikan dengan S.

Contoh :

Lemparlah sebuah uang logam yang memiliki sisi atas (kejadian muncul sisi atas kita sebut A), dan sisi bawah (kejadian muncul sisi atas kita sebut B) sebanyak 10 kali. Maka :

  • Ruang sample perobaan ini adalah S = {AABBABABAB, … } meliputi semua konfigurasi dari A dan B.
  • Misalkan Variabel Acak X adalah banyaknya nya Sisi Atas yang muncul, X:S \to \Re atau dalam contoh ini X:S \to \left \{ 0,1,...,10 \right \}

Fungsi distribusi kumulatif atau biasanya disingkat fungsi distribusi saja, F dari variabel acak X  untuk sembarang bilangan riil x  ditentukan dengan :

F\left (  x \right )=P\left \{  X\leq x \right \}

Sebuah Variabel Acak disebut diskrit jika variabel acak ini terdiri dari sejumlah angka yang terhitung dan terbatas dari nilai-nilai yang mungkin terjadi. Untuk sebuah variabel acak diskrit X kita tentukan Fungsi Masa Probabilitas (Probability Mass Function) p(x) dengan :

p\left (  x \right )=P\left \{  X = x \right \}

Jika X adalah variabel acak diskrit yang memiliki nilai yang mungkin muncul x_1, x_2, ... , maka karena X harus berasal dari salah satu nilai-nilai tersebut, kita akan memperoleh :

\sum_{i=1}^{\infty }p\left (  x_i\right )=1

Contoh : Misalkan X bernilai dari salah satu 1,2 atau 3. Jika

p\left (  1 \right )=\frac{1}{4}, p\left (  2 \right )=\frac{1}{3}

maka, karena p\left (  1 \right ) + p\left (  2 \right ) + p\left (  3 \right ) = 1 , akan menghasilkan p\left (  3 \right ) = \frac{5}{12}

Distribusi Geometrik


Distribusi ini mewakili suatu kejadian random hingga  sukses yang pertama kali terjadi.

Bisa kita ambil contoh tentang kejadian lulus dari ujian kenaikan tingkat. Kita akan terus mengikuti ujian berkali-kali jika belum berhasil lulus. Tetapi sekali saja kita dinyatakan lulus, maka selesai lah sudah proses nya.

Kejadian berburu juga bisa sebagai perwakilan kejadian yang digambarkan oleh Distribusi Geometri. Peluru dari senjata pemburu akan terus dihamburkan hingga akhirnya buruannya berhasil ditembak. Kalau sudah berhasil ditembak, maka tidak ada lagi peluru yang dihamburkan.

Secara konsep : Distribusi Geometri  mewakili sebuah percobaan random yang :

  • dilakukan berulang-ulang,
  • antar ulangannya saling bebas, dan
  • probabilitas sukses pada tiap ulangannya sama, yaitu p, dimana 0 < p < 1.
  • Percobaan ini dilakukan/diulang sampai diperoleh 1 buah sukses.

Ruang sampel dari percobaan ini adalah C = {S, GS, GGS,GGGS, GGGGS, … }. Dimana S = sukses, G = gagal.

Misalkan X adalah variabel random yang menyatakan banyaknya gagal sebelum sukses ke-1. Ruang nilai dari X adalah A = { 0,1,2,3,4, … }. Akan ditentukan pdf dari X atau f(x). Perhatikan ilustrasi berikut :

§ Pr (X = 0) = P(S) = p

§ Pr (X = 1) = P(GS) = P(G)P(S) = (1-p)1p

§ Pr (X = 2) = P(GGS) = P(G)P(G)P(S) = (1-p)2p

§ Pr (X = 3) = P(GGGS) = P(G)P(G)P(G)P(S) = (1-p)3 p

§ Pr (X = x) = (1-p)x p


Jadi,

f(x) = Pr (X = x) = X

dengan pdf f(x) dinamakan berdistribusi geometrik dengan parameter r = 1 dan p.

Pengantar Statisika


Penggunaan statistik sudah lama dikenal sejak sebelum abad 18. Pada saat itu negara-negara seperti Babilon, Mesir dan Roma mengeluarkan catatan tentang nama, usia, jenis kelamin, pekerjaan dan jumlah anggota keluarga. Pada tahun 1772 -1791, G. Achenwall menggunakan istilah statistik sebagai kumpulan data tentang negara. Kemudian pada tahun 1791-1799, Dr. E.A.W. Zimmesman mengenalkan kata statistik dalam bukunya Statistical Account of Scotland. Tahun 1881 – 1935, R. Fisher mengenalkan analisis variansi dalam literatur statistiknya.

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali kita jumpai kegiatan-kegiatan yang berkaitan dengan statistik, misalnya :

  • seorang ibu rumah tangga ingin mengetahui berapa banyak uang yang dibelanjakan tiap bulannya dalam tahun tertentu.
  • sebuah perusahaan ingin mengetahui tingkat kedisiplinan pegawainya, dengan mengumpulkan data kedatangan dan kepulangan pegawainya.
  • seorang dosen ingin mengetahui tingkat keberhasilan mahasiswanya dengan cara mendata IP yang diperoleh mahasiswanya dalam tiap semester
  • dan sebagainya

Bahkan saat ini, statistika memegang peranan yang penting dalam berbagai aspek penelitian yang bermanfaat bagi kemajuan ilmu-ilmu yang lain.

Continue reading Pengantar Statisika